半荘 Ｎ 回やって、Ｘ回トップを取った人のトップ率
ｔ は、ｔ ＝ Ｘ／Ｎ （標本値）で定義するものとします。この得られた標本値から考えて、自分の実力としての雀力Ｔ（トップ率の母集団値）がいかほどのものか知りたい場合には、以下の計算をすればよい。
帰無仮説：Ｔ＝ａ（←証明したい数値、例えば、0.4とか0.5とかを入れる）
対立仮説：Ｔ＞ａ（右片側検定）
｜ｔ−ａ｜
統計量Ｕ＝−−−−−−−−−−−−−＊平方根（Ｎ）
平方根（ａ＊(１−ａ））
この統計量Ｕと標準正規分布の右片側α％点と比較し、Ｕ＞ｕ（α）
であれば、有意水準αで帰無仮説を棄却します。
有意水準１％ ｕ（α）＝ｕ（０．０１）＝２．３２６
有意水準５％ ｕ（α）＝ｕ（０．０５）＝１．６４５ です。
なお、適応の目安として、ＮＴ＞５とします。また、統計量自身がすでに近似計算してありますので、小数第３位以下はあまり信憑性がありません。また、Ｔ＜ａの可能性も考慮して両側検定でやる場合は、右片側（α／２）％点と比較して、
有意水準１％ ｕ（α／２）＝ｕ（０．００５）＝２．５７６
有意水準５％ ｕ（α／２）＝ｕ（０．０２５）＝１．９６０
で行います。
★★数値例です★★
（問題）半荘２０回やって、トップ１５回取りました。この人の雀力
Ｔ は、Ｔ＞５０％ と言ってよいか、有意水準１％で検定せよ。
標本比率として、ｔ＝１５／２０＝０．７５
帰無仮説：Ｔ＝０．５ （ａ＝０．５のケース）
対立仮説：Ｔ＞０．５ （右片側検定）
（０．７５−０．５）
統計量Ｕ＝−−−−−−−−−−−−−−−−＊平方根（２０）
平方根（０．５＊(１−０．５））
＝２．２３６＜２．３２６＝ｕ（０．０１）
となり、きわどく、帰無仮説Ｔ＝０．５を棄却できません。
（何の結論も得られない状態になる）
（有意水準５％だと１．６４５より大きいので棄却できます）
（Ｔ＝０．４９という帰無仮説を立てると、有意水準１％で棄却できます。）
なお、このトップ率Ｔは、半荘６回とか８回とかの短期決戦におけるトップ率Ｒであるとしても、全く同じように解けます。
今までの８連勝の例にこだわってもいいのですが、本当は、Ｆ分布を使わなければだめだとか、勝率１００％なんで、信頼区間もままならず、ちょっと例としてはよくないかなーと思って変えました。
また、結論の解釈ですが、「有意水準５％で、Ｔ＞５０％と言ってよい」と言えるということは、この人の最近の２０回の試合ぶりの勝率７割５分というデータから、将来を予測すると、次の半荘でトップをとる確率は、５０％以上といっても構いません。
ただし、この判断を誤る可能性は、５％存在します。すなわち同じ様な判断を１００回繰り返すとそのうちの９５回は判断を間違えないですが、残り５回は間違うと考えられます。
上昇曲線論の決着（？）
#3370のＦ分布で計算してみました。
ｎ＝８、ｋ＝８、ｐ＝８／８＝１．０
ｎ１＝２（８−８＋１）＝２
ｎ２＝２*８＝１６
Ｆ(n1,n2,α/2)＝Ｆ（２，１６，０．０１）＝６．２２６
^^^^^^^^
↑
上限は１００％だから下限だけで、１％とっていいのかな？０．００５でやるべきか？
よって、
信頼下限＝１６÷（２*６．２２６＋１６）＝０．５６２
∴ ０．５６２＜Ｒ＜１．０ （９９％信頼区間）
このＲで８半荘中、４勝以上する確率を計算します。
以下の方法論は、自分は完全には同意したわけではないですが、大勢はこの方法が正しいということなので、自らの不利を顧みず計算結果を提示します。(^_^；
Ｒの値が変化した場合の様子をみるために、文字のまま計算します。
８勝:8Ｃ8*Ｒ^8 ＝ Ｒ^8
７勝:8Ｃ7*Ｒ^7*(１−Ｒ) ＝ ８Ｒ^7*(１−Ｒ)
６勝:8Ｃ6*Ｒ^6*(１−Ｒ)^2＝２８Ｒ^6*(１−Ｒ)^2
５勝:8Ｃ5*Ｒ^5*(１−Ｒ)^3＝５６Ｒ^5*(１−Ｒ)^3
４勝:8Ｃ4*Ｒ^4*(１−Ｒ)^4＝７０Ｒ^4*(１−Ｒ)^4
全部合計して、
Σ＝Ｒ^4*（７０*(１−Ｒ)^4＋５６Ｒ*(１−Ｒ)^3＋２８Ｒ^2*(１−Ｒ)^2
＋８Ｒ^3*(１−Ｒ)＋Ｒ^4）＝Ｇ(Ｒ)
このΣをＧ(Ｒ)とおいて、Ｒに関する関数と考えます。このＲの８次関数について、９９％信頼区間内での最大値と最小値をだす。
まず微分して、
Ｇ'(Ｒ)＝２８０*Ｒ^3(１−Ｒ)^4 と意外と(?)と簡単な形になりました。
増減表を書いてみます。
Ｒ −無限大....０....１....＋無限大
Ｇ'(Ｒ) − ０ ＋ ０ ＋
Ｇ(Ｒ) 下降 上昇 上昇
０＜Ｒ＜１ の範囲では、Ｇ'(Ｒ)＞０とＧ(Ｒ)は単調増加を示します。
個別の値を計算してみると、
Ｇ(０) ＝０ （以下、括弧内の数字は小数第５位を四捨五入した）
Ｇ(０．１) ＝０．０１ （０．００５０）
Ｇ(０．２) ＝０．０６ （０．０５６３）
Ｇ(０．３) ＝０．２０ （０．１９４１）
Ｇ(０．４) ＝０．４１ （０．４０５９）
Ｇ(０．５) ＝０．６４ （０．６３６７）
Ｇ(０．５６２)＝０．７６ （０．７６２７）
Ｇ(０．６) ＝０．８２ （０．８２６３）
Ｇ(０．７) ＝０．９４ （０．９４２０）
Ｇ(０．８) ＝０．９９ （０．９８９６）
Ｇ(０．９) ＝１．００ （０．９９９６）
Ｇ(１) ＝１
とここまで計算しました。
０．５６２＜Ｒ＜１．０ （９９％信頼区間）だから、単純に ０．７６＜Ｇ(Ｒ)＜１ でいいのかな。ようわからん。。。。
８連続トップ
>８連勝＝８連続トップという意味ですね？。
>記録に残っているゲーム、即ちチャット麻雀(406半荘戦）月例会(約200半荘戦)
>及び某麻雀団体における約5000一荘戦において一度もありません。
別人２８号さんほどの高打率のトップ率の方でも、一度遭遇するかどうかのレベルの発生頻度ということですね。そこで、単純に、トップ率（Ｒ）と連続トップ数（５から８まで）を変化
させて計算させてみました。
例えば、Ｒ＝0.35の８連続では、（0.35)^8=0.00023 というぐあいに単純にＲの８乗を計算しています。
Ｒ | 0.25 | 0.30 | 0.35 | 0.40 |
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
８連続| 0.00002 | 0.00007 | 0.00023 | 0.00066
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７連続| 0.00006 | 0.00022 | 0.00064 | 0.00164
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６連続| 0.00024 | 0.00073 | 0.00184 | 0.00410
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５連続| 0.00098 | 0.00243 | 0.00525 | 0.01024
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４連続| 0.00391 | 0.00810 | 0.01501 | 0.02560
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Ｒ＝０．３５の場合だと、５連続トップの確率は約２００分の１、
８連続トップの確率は、約５０００分の１、と出ました。
Ｒ＝０．２５の平均的プレーヤーの場合、８連続トップの確率は、約５００００分の１です。うーん、やっぱり大変むずかしい。(@_@)
最終結論が見えたか
少し確率の本を読んで勉強し直しました。
母集団の特性値(今の場合は、半荘ごとのトップ率Ｒ)が判明しても、確率変数Ｘ(試行の結果を表す変数のこと、今の場合はトップ率)の分布があるわけで、トップ率Ｒの結果が必ず帰って来るわけではなく、二項分布であれば、その平均Ｅ(Ｘ)＝Ｎ*Ｒ、分散Ｖ(Ｘ)＝平方根(Ｎ*Ｒ*(１-Ｒ))、の分布を示すことがわかりました。(当たり前か・・・）
したがって、例えば、トップ率Ｒ＝０.３０の人の場合、半荘１００回やれば、単純に３０回トップを取ると考えてはだめで、
Ｅ(Ｘ)＝Ｎ*Ｒ＝100×0.30＝30
Ｖ(Ｘ)＝平方根(Ｎ*Ｒ*(１-Ｒ))＝SQRT(100×0.30×0.70)＝4.583
の二項分布Ｂ(100,0.30)に従うと考える必要があります。つまり最大の山は３０回の付近にありますが、その近辺も十分ウロウロするということです。
ちょっと具体例で計算してみました。
(1)トップ数が３１回以上４０回以下となる確率は？
Ｐ(31≦Ｘ≦40)＝φ((40-30+0.5)/4.583)-φ((31-30-0.5)/4.583)
＝φ(2.29)-φ(0.11)
＝0.4890-0.0438＝0.4452 ∴約４５％
(2)トップ数が２５回以下になる確率は？
Ｐ(0≦Ｘ≦25)＝φ((25-30+0.5)/4.583)-φ(0-30-0.5/4.583)
＝-φ(0.98)+φ(6.65)
＝-0.3365+0.5＝0.1635 ∴約１６％
なおこの計算では２項分布の正規分布近似として、ラプラスの定理を使っています。さらに離散分布から連続分布への補正も行っています。
ラプラスの定理
Ｐ(ａ≦Ｓ≦ｂ)＝φ((ｂ-Ｅ(Ｘ)+0.5)/Ｖ(Ｘ))-φ((ａ-Ｅ(Ｘ)-0.5)/Ｖ(Ｘ))
φは標準正規分布を表しており、φ(∞)＝0.5
です。
ｂｙ 多摩（ターニア）97/7/3
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