ＲＴ公式戦(第５期〜第11期)における役満集計結果によると、14601半荘中に316回の役満が確認されています。
(cf.FMAJAN/MES9/#5138)
14601/316=46.20・・・
これは、参加者４人の誰かが役満をあがる平均的半荘数を示しています。個人１人ひとりの場合は、これを４倍して 4*46.20=184.8
(半荘) が、平均的に役満１回あがるのに必要半荘数と考えられます。この経験的数値をおおざっぱに、仮に「200(半荘)」と考えることにします。<(_
_)>
問題
ＲＴユーザーが役満をあがる割合は、半荘200回に１回である。半荘を100回行う時、次の確率を求めよ。ただし、各半荘は独立であるとし、半荘１回に２回以上の役満出現は無いものとする。
（１）１回も役満をあがれない確率
（２）３回以上役満をあがれる確率
[ヒント]
２項分布をポアソン分布で近似すると、計算が楽です。
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RE:半荘100回で１回も役満をあがれない確率、へのコメント
役満をあがった場合を○，上がれなかった場合を●として結果を表すと
●●●○●●●●●●●●○●●●●●●●●・・・・・（計１００回）
例えば３回あがるケースはCONB(100,3）通りである。
そしてその１ケース毎の確率は和がれない=９７回，和がれる=３回だから
(199/200)^97*(1/200)^3 である。
よって半荘１００回でＮ回あがる確率Ｐ(Ｎ)は
Ｐ(N)＝CONB(100,N)*(199/200)^(100-N)*(1/200)^N
Ｐ(0)= 60.58%
Ｐ(1)= 30.44%
Ｐ(2)= 7.57%
Ｐ(3)= 1.24%
したがって（１）１回も役満をあがれない確率は、Ｐ(0)=60.58%
（２）３回以上役満をあがれる確率は、1-Ｐ(0)-Ｐ(1)-Ｐ(2)=1.41%
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[解答]半荘100回で１回も役満をあがれない確率
私の用意していた解答です。
２項分布をポアソン分布で近似します。
解答：２項分布をポアソン分布で近似します。
ｎが十分大きく、ｐが十分小さい時、
λ^k
nＣk*ｐ^k*(1-ｐ)^(n-k) ≒ e^(-λ)*-----
k!
(k=0,1,2, ･････)
が成立します。ただし、λ＝ｎｐは余り大きくない。目安としては、ｎｐ＜５ ぐらいとされている。
（e：自然対数の底 2.71828････）
（k!=k*(k-1)*････*1）
これを使って近似計算します。今の場合、
λ＝ｎｐ＝100*(1/200)＝0.5 ですから、
役満をＸ回あがる確率をＰ(Ｘ)として、
（１）Ｐ(0)＝100Ｃ0*(1/200)^0*(199/200)^100≒e^(-0.5)*(0.5^0)/0!＝e^(-0.5)
＝0.6065 → 約６１％
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（２）求める確率＝１−Ｐ(0)−Ｐ(1)−Ｐ(2)
Ｐ(0)＝e^(-0.5)*(0.5^0)/0!
Ｐ(1)＝e^(-0.5)*(0.5^1)/1!
Ｐ(2)＝e^(-0.5)*(0.5^2)/2! であるから、
Ｐ(0)＋Ｐ(1)＋Ｐ(2)＝e^(-0.5)*(1+0.5+0.125)
＝e^(-0.5)*1.625
＝0.98561
よって、
(求める確率)＝１−Ｐ(0)−Ｐ(1)−Ｐ(2)
＝１−0.98561
＝0.01439 → 約１.４％
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combinationの２項分布で解いていただいた解答も勿論、大正解です。
近似計算というだけあって、２項分布・ポアソン分布とも、ほとんど同じ値を返しているのには感心させられます。（って当り前か(^_^;)、だから近似できるんだもんね）
by 多摩（ターニア）<99/11/23>
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