自由網平均（三次元）の計算方法

このページは、網平均計算について興味のある方のために具体的な計算方法を掲載しました。
（Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔを操作する上では、本ページ内容を理解する必要はありません）

測量計算ソフトＳｐａｃｅ Ｎｅｔ につきましては以下のページをご覧ください。
「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ　ＸＹ・高低網」、「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ　三次元網」、「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ　水準網」、
「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ　自由網（ＸＹ・高低）」、「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ　自由網（三次元）」

 シート名   種類   説明  エクセルに 使用した主な計算式   
 計算の内容  計算式 記号の説明   エクセル使用箇所
入力1 入力 ・自由網平均（三次元）に必要なデータを入力します。

・重量種類を選択入力します。

・重量種類を「固定値」とした場合は、南北、東西、高さ方向の誤差を三次元直交座標の誤差に換算した行列が重量の根拠となります。

・重量種類を「基線解析の分散共分散」とした場合は、基線解析の分散共分散行列が重量の根拠となります。（基線解析結果の分散共分散行列を入力）
入力2 〃 ・自由網平均（三次元）に必要なデータを入力します。

・平面直角座標系を選択入力します。これは、最確値座標変換（経緯度→ＸＹ）の時に必要です。（「6-1経緯度→ＸＹ変換」ｼｰﾄ参照）

・与点の経緯度座標、新点の近似値経緯度座標、ジオイド高を入力します。検証点に★マーク選択します。

・本来、プログラム上でジオイド高を求めますが、本ファイルは自由網平均（三次元）の理解が目的のためジオイド計算を省略しています。

・基線ベクトル観測値を入力します。自由網で標準偏差を求めるには、閉合多角図形とします。
1座標変換 計算 ・与点と近似値の座標変換をしています。

・与点と新点近似値の経緯度を、三次元直交座標ＸＹＺに変換します。

・楕円体の定数（長半径、扁平率）から、各要素（短半径、第一離心率、Ｗ、Ｎ）を求めます。それらを基に、経緯度を三次元直交座標に変換します。

・網平均（行列計算）は三次元直交座標上で行います。		 座標変換 e＝√（a2-b2）/a
Ｎ＝a/√（1-e2sin2φ）

Ｘ＝（Ｎ+ｈ）cosφcosλ
Ｙ＝（Ｎ+ｈ）cosφsinλ
Ｚ＝（Ｎ（1-e2）+ｈ）sinφ		 e：第一離心率
a：楕円体の長半径
b：楕円体の短半径
Ｎ：卯酉線曲率半径
ｈ：楕円体高
φ：緯度
λ：経度
Ｘ：三次元直交座標のＸ
Ｙ：三次元直交座標のＹ
Ｚ：三次元直交座標のＺ		 Ｃ～Ｍ列
2重量 〃 ・各基線の重量を求めています。

・重量（入力1ｼｰﾄで選択した分散共分散行列の逆行列）を求めます。

・全体の重量行列は、各基線3行3列の重量を対角に並べます。		 逆行列 Ｐ＝Σ-1 Ｐ：各基線ﾍﾞｸﾄﾙの重み（3行3列）
（全体の重み行列は3行3列を対角に配置します）
Σ：分散共分散行列
Σ-1：分散共分散行列の逆行列		 Ｉ～Ｋ列
3方程式 〃 ・観測方程式の係数と定数項を求めています。

・各測線毎に、新点に対応させて係数を表示させます。基線の出発点は-1、到着点は1、自由網は与点も新点として扱います。行列の縦が基線ﾍﾞｸﾄﾙ各測線（ＸＹＺの順）、横が新点（ＸＹＺの順）です。

・係数を表示するに当たり、各測線の出発点、到着点の区別が重要になります。

・定数項は、基線ﾍﾞｸﾄﾙの各測線についてＸＹＺ別に近似値と観測地の差から求めます。		 ①観測方程式

②定数項		 ①ＶＩＪ＝-ＸＩ-ＹＩ-ＺＩ+ＸＪ+ＹＪ+ＺＪ+ＬＩＪ

②ＬＩＪ＝近似値から求めた基線ﾍﾞｸﾄﾙ計算値-観測値		 ＶＩＪ：観測方程式
Ｉ：出発点
Ｊ：到着点
-ＸＩ-ＹＩ-ＺＩ+ＸＪ+ＹＪ+ＺＪ：係数
ＬＩＪ：定数項		 ①全体

②Ｗ～Ｚ列
4行列計算 〃 ・行列計算により最小二乗法で近似座標の補正量等を求めています。

・観測方程式の各要素（定数項ベクトル、係数行列、重み行列）から最小二乗法による行列計算で近似座標の補正量、観測値の残差を求めます。（ベクトルは1列）

・行列計算Ａ’ＰＶが０であれば正しく計算されたことになります。（点検）		 行列計算 Ａ’ＰＡ＝Ｎ

Ａ’ＰＬ＝Ｕ

-Ｎ－1・Ｕ＝W

ＡＷ+L＝V		 Ａ：係数行列
Ｎ：正規行列
Ｕ：定数項ベクトル
W：補正量ベクトル
V：残差ベクトル
Ｐ：重み行列
Ｎ-1：Ｎの逆行列		 全体
5最確値・標準偏差 〃 ・最確値及び観測値と座標の標準偏差を求めています。

・新点座標近似値に行列計算で求めた補正量を足して三次元直交座標の最確値を求めます。

・観測値の残差、重み、方程式数、未知数から観測値の単位重量の標準偏差を求めます。

・正規行列の逆行列Ｎ-1の対角要素と単位重量の標準偏差から、三次元直交座標系の新点座標の標準偏差を求めます。次に座標変換により三次元直交座標系の標準偏差を測地座標系と局所測地座標系（ＮＥｈ）に変換します。
（測量精度の一尺度）		 ①新点の三次元直交座標の最確値

②観測値の標準偏差

③新点の標準偏差

④標準偏差の三次元直交座標から測地座標への変換		 ①Ｘ＝Ｘ’+⊿Ｘ
Ｙ＝Ｙ’+⊿Ｙ
Ｚ＝Ｚ’+⊿Ｚ

②σ0＝√（ΣＶ’PV/（ｍ-ｎ））

③σ0・√ｑ

④Σφλｈ＝ＲΣＸＹＺＲ’		 Ｘ・Ｙ・Ｚ：新点の最確値
Ｘ’・Ｙ’・Ｚ’：新点の近似値
⊿Ｘ・Ｙ・Ｚ：近似値の補正量
σ0：単位重みの標準偏差
Σ：観測全体の総和
Ｖ：観測値の残差
Ｐ：重み
ｍ：観測方程式数
ｎ：未知数（新点数×3）
ｑ：正規方程式の逆行列の対角要素
Σφλｈ：緯度、経度、高さの分散共分散行列
Ｒ：変換行列
ΣＸＹＺ：直交座標の分散共分散行列		 ①Ｋ～Ｍ列

②Ｂ～Ｇ列

③Ｈ、Ｏ列

④Ｒ～ＡＮ列
6最確値座標変換 〃 ・最確値の座標変換をしています。

・新点座標最確値を三次元直交座標系から測地座標系（経緯度）に変換しています。

・「6-1経緯度→ＸＹ変換」ｼｰﾄの結果の平面直角座標系の値を表示しています。		 座標変換（三次元直交座標→測地座標） P＝√（Ｘ2+Ｙ2）
φi-1＝tan-1(Z/P)
Ｎi-1＝a/√（1-e2sin2φi-1）
φi＝tan-1（Ｚ/（p-e2Ｎi-1・cosφi-1））
λ＝tan-1（Ｙ/Ｘ）
ｈ＝P/cosφ-Ｎ		 φi-1：緯度の初期値
Ｎi-1：卯酉線曲率半径の初期値
φi：繰返し後の緯度
φiとφi-1の差が十分小さくなるまで繰り返す
λ：経度
ｈ：楕円体高		 Ｄ～ＡＵ列
6-1経緯度→ＸＹ変換 〃 ・最確値の測地座標（経緯度）を平面直角座標に変換しています。

・新点最確値を測地座標系（経緯度）から平面直角座標系に変換します。		 座標変換 複雑なため省略
（「6-1経緯度→ＸＹ変換」ｼｰﾄ参照）		 全体
7基線結果 〃 ・基線ﾍﾞｸﾄﾙの最確値と斜距離の残差を求めています。

・基線ﾍﾞｸﾄﾙ観測値と行列計算で求めた基線ﾍﾞｸﾄﾙ残差（⊿Ｘ・⊿Ｙ・⊿Ｚ）を足して基線ﾍﾞｸﾄﾙ最確値（ＸＹＺ）を求めます。

・基線ﾍﾞｸﾄﾙＸＹＺ合成の斜距離最確値から斜距離観測値を引いて斜距離の残差を求めます。		 ①基線ﾍﾞｸﾄﾙの最確値

②斜距離の残差		 ①基線ﾍﾞｸﾄﾙ最確値＝基線ﾍﾞｸﾄﾙ観測値+Ｖ

②斜距離の残差＝斜距離最確値-斜距離観測値		 Ｖ：基線ﾍﾞｸﾄﾙ観測値の残差 ①Ｄ、Ｆ～Ｇ列

②Ｅ、Ｈ～Ｉ列
8閉合差  〃  ・閉合差を求めています。

自由網は固定点がないため、仮定網のように固定点1点を基準とした閉合差ではありません。自由網の特性として閉合差の合計はゼロとなります。 		 ①水平位置の閉合差

②標高の閉合差 		 ①閉合差＝平均値-成果値

②閉合差＝平均値-成果値 		   ①H、I列

②S列 
8-1経緯度→ＸＹ変換 〃  ・直近の近似値の測地座標（経緯度）を平面直角座標に変換しています。  座標変換  複雑なため省略
（「8-1経緯度→ＸＹ変換」ｼｰﾄ参照） 		   全体