三次元網平均の計算方法

このページは、網平均計算について興味のある方のために具体的な計算方法を掲載しました。
「三次元網平均の計算方法」エクセルもよろしければご覧ください。(ファイル名をクリックするとダウンロード可)
(Space Netを操作する上では、本ページ内容と「三次元網平均の計算方法」エクセルを理解する必要はありません)

測量計算ソフトSpace Net につきましては以下のページをご覧ください。
「Space Net XY・高低網」「Space Net 三次元網」「Space Net 水準網」
「Space Net 自由網(XY・高低)」「Space Net 自由網(三次元)」

 シート名   種類   説明  エクセルに 使用した主な計算式   
 計算の内容  計算式 記号の説明   エクセル使用箇所
入力1 入力 ・三次元網平均に必要なデータを入力します。

・重量種類を選択入力します。

・重量種類を「固定値」とした場合は、南北、東西、高さ方向の誤差を三次元直交座標の誤差に換算した行列が重量の根拠となります。

・重量種類を「基線解析の分散共分散」とした場合は、基線解析の分散共分散行列が重量の根拠となります。(基線解析結果の分散共分散行列を入力)
入力2 ・三次元網平均に必要なデータを入力します。

・平面直角座標系を選択入力します。これは、最確値座標変換(経緯度→XY)の時に必要です。(「6-1経緯度→XY変換」シート参照)

・与点の経緯度座標、新点の近似値経緯度座標、ジオイド高を入力します。

・本来、プログラム上でジオイド高を求めますが、本ファイルは三次元網平均計算の理解が目的のためジオイド計算を省略しています。

・基線ベクトル観測値を入力します。入力例は実用網で、与点間の基線は除いています。もし仮定網(1点固定)する場合は、与点間の基線も入力し、閉合多角図形とします(観測値のみの標準偏差を求めるため)
1座標変換 計算 ・与点と近似値の座標変換をしています。

・与点と新点近似値の経緯度を、三次元直交座標XYZに変換します。

・楕円体の定数(長半径、扁平率)から、各要素(短半径、第一離心率、W、N)を求めます。それらを基に、経緯度を三次元直交座標に変換します。

・網平均(行列計算)は三次元直交座標上で行います。
座標変換 e=√(a2-b2)/a
N=a/√(1-e2sin2φ)

X=(N+h)cosφcosλ
Y=(N+h)cosφsinλ
Z=(N(1-e2)+h)sinφ
e:第一離心率
a:楕円体の長半径
b:楕円体の短半径
N:卯酉線曲率半径
h:楕円体高
φ:緯度
λ:経度
X:三次元直交座標のX
Y:三次元直交座標のY
Z:三次元直交座標のZ
C〜M列
2重量 ・各基線の重量を求めています。

・重量(入力1シートで選択した分散共分散行列の逆行列)を求めます。

・全体の重量行列は、各基線3行3列の重量を対角に並べます。
逆行列 P=Σ-1 P:各基線ベクトルの重み(3行3列)
(全体の重み行列は3行3列を対角に配置します)
Σ:分散共分散行列
Σ-1:分散共分散行列の逆行列
I〜K列
3方程式 ・観測方程式の係数と定数項を求めています。

・各測線毎に、新点に対応させて係数を表示させます。基線の出発点は-1、到着点は1、新点に関係ない与点箇所は0とします。行列の縦が基線ベクトル各測線(XYZの順)、横が新点(XYZの順)です。

・係数を表示するに当たり、各測線の出発点、到着点の区別が重要になります。

・定数項は、基線ベクトルの各測線についてXYZ別に近似値と観測地の差から求めます。

・新点のほか南北・東西・鉛直方向の微小回転、スケールも未知数として観測方程式に追加(通常は未知数として考慮しません)する方法がありますが、観測方程式は複雑になります。本ファイルは、シンプルな新点のみの観測方程式です。
@観測方程式

A定数項
@VIJ=-XI-YI-ZI+XJ+YJ+ZJ+LIJ

ALIJ=近似値から求めた基線ベクトル計算値-観測値
VIJ:観測方程式
I:出発点
J:到着点
-XI-YI-ZI+XJ+YJ+ZJ:係数
LIJ:定数項
@全体

AW〜Z列
4行列計算 ・行列計算により最小二乗法で近似座標の補正量等を求めています。

・観測方程式の各要素(定数項ベクトル、係数行列、重み行列)から最小二乗法による行列計算で近似座標の補正量、観測値の残差を求めます。(ベクトルは1列)

・行列計算A’PVが0であれば正しく計算されたことになります。(点検)
行列計算 A’PA=N

A’PL=U

-N−1・U=W

AW+L=V
A:係数行列
N:正規行列
U:定数項ベクトル
W:補正量ベクトル
V:残差ベクトル
P:重み行列
N-1:Nの逆行列
全体
5最確値・標準偏差 ・最確値及び観測値と座標の標準偏差を求めています。

・新点座標近似値に行列計算で求めた補正量を足して三次元直交座標の最確値を求めます。

・観測値の残差、重み、方程式数、未知数から観測値の単位重量の標準偏差を求めます。

・正規行列の逆行列N-1の対角要素と単位重量の標準偏差から、三次元直交座標系の新点座標の標準偏差を求めます。次に座標変換により三次元直交座標系の標準偏差を測地座標系と局所測地座標系(NEh)に変換します。
(測量精度の一尺度)
@新点の三次元直交座標の最確値

A観測値の標準偏差

B新点の標準偏差

C標準偏差の三次元直交座標から測地座標への変換
@X=X’+凾w
Y=Y’+凾x
Z=Z’+凾y

Aσ0=√(ΣV’PV/(m-n))

Bσ0・√q

CΣφλh=RΣXYZR’
X・Y・Z:新点の最確値
X’・Y’・Z’:新点の近似値
凾w・Y・Z:近似値の補正量
σ0:単位重みの標準偏差
Σ:観測全体の総和
V:観測値の残差
P:重み
m:観測方程式数
n:未知数(新点数×3)
q:正規方程式の逆行列の対角要素
Σφλh:緯度、経度、高さの分散共分散行列
R:変換行列
ΣXYZ:直交座標の分散共分散行列
@K〜M列

AB〜G列

BH、O列

CR〜AN列
6最確値座標変換 ・最確値の座標変換をしています。

・新点座標最確値を三次元直交座標系から測地座標系(経緯度)に変換しています。

・「6-1経緯度→XY変換」シートの結果の平面直角座標系の値を表示しています。
座標変換(三次元直交座標→測地座標) P=√(X2+Y2)
φi-1=tan-1(Z/P)
Ni-1=a/√(1-e2sin2φi-1)
φi=tan-1(Z/(p-e2Ni-1・cosφi-1))
λ=tan-1(Y/X)
h=P/cosφ-N
φi-1:緯度の初期値
Ni-1:卯酉線曲率半径の初期値
φi:繰返し後の緯度
φiとφi-1の差が十分小さくなるまで繰り返す
λ:経度
h:楕円体高
D〜AU列
6-1経緯度→XY変換 ・最確値の測地座標(経緯度)を平面直角座標に変換しています。

・新点最確値を測地座標系(経緯度)から平面直角座標系に変換します。
座標変換 複雑なため省略
(「6-1経緯度→XY変換」シート参照)
全体
7基線結果 ・基線ベクトルの最確値と斜距離の残差を求めています。

・基線ベクトル観測値と行列計算で求めた基線ベクトル残差(凾w・凾x・凾y)を足して基線ベクトル最確値(XYZ)を求めます。

・基線ベクトルXYZ合成の斜距離最確値から斜距離観測値を引いて斜距離の残差を求めます。
@基線ベクトルの最確値

A斜距離の残差
@基線ベクトル最確値=基線ベクトル観測値+V

A斜距離の残差=斜距離最確値-斜距離観測値
V:基線ベクトル観測値の残差 @D、F〜G列

AE、H〜I列