厳密高低網平均の計算方法
このページは、網平均計算について興味のある方のために具体的な計算方法を掲載しました。
「厳密高低網平均の計算方法」
（上記ファイル名をクリックするとダウンロード可ですが、厳密高低網平均の計算方法エクセルの改良はご遠慮ください）
（Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔを操作する上では、本ページ内容と「厳密高低網平均の計算方法」エクセルを理解する必要はありません）
測量計算ソフトＳｐａｃｅ Ｎｅｔ につきましては以下のページをご覧ください。
「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ ＸＹ・高低網」、「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ 三次元網」、「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ 水準網」、
「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ 自由網（ＸＹ・高低）」、「Ｓｐａｃｅ Ｎｅｔ 自由網（三次元）」
| シート名 | 種類 | 説明 | エクセルに 使用した主な計算式 | |||
| 計算の内容 | 計算式 | 記号の説明 | エクセル使用箇所 | |||
| 入力1 | 入力 | ・厳密高低網平均に必要なデータを入力します。 ・与点標高と新点標高近似値を入力します。 ・新点標高近似値（Ｈ2）は右の計算式より求めます。 |
新点標高の近似値 | Ｈ2＝（Ｈ2正方向+Ｈ2反方向）/2 Ｈ2正方向＝Ｈ1+Ｄsinα1+i1-f2+K Ｈ2反方向＝Ｈ1-Ｄsinα2-i2+f1-K |
Ｈ1：既知点標高 Ｈ2：新点標高近似値 i：器械高 f：目標高 Ｄ：測定距離（斜距離） Ｓ：基準面上の距離 Ｚ：観測した鉛直角 α：高低角 α＝90°-Ｚ Ｋ：両差（気差及び球差） Ｋ＝（1-ｋ）Ｓ2/（2Ｒ） ｋ：屈折係数（0.133） Ｒ：平均曲率半径6370000 |
本仕組みファイルは、左記の計算式の結果を入力しますので左記の計算式は使用していません。 |
| 入力2 | 〃 | ・厳密高低網平均に必要なデータを入力します。 ・各測線について、厳密高低網平均結果の基準面上の球面距離を入力します。 |
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| 入力3 | 〃 | ・厳密高低網平均に必要なデータを入力します。 ・各測線（正・反の両方）について、観測値（器械高、目標高、高低角）を入力します。 |
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| 1高低角補正 | 計算 | ・高低角の補正をしています。 ・入力3シートで入力した高低角を標石上面の高低角に換算します。最初に正反観測値別々に、器械高・目標高・基準面上の距離から、観測高低角を標石上面の高低角に換算します。次に正と反の値を平均した標石上面の高低角（網平均計算に使用）を求めます。 |
高低角の補正 | ①正の高低角に対する補正量 ｄα1＝tan-1（（f2-i1） cosα1/(S/cosα1-(f2-i1)sinα1）) ②反の高低角に対する補正量 ｄα2＝tan-1（（f1-i2） cosα2/(S/cosα2-(f1-i2)sinα2）) ③補正した観測高低角（標石上面） α’1（正）＝α1-ｄα1 α’2（反）＝α2-ｄα2 ④観測高低角（正反平均） α’ｍ＝（α1-α2）/2 |
α：観測した高低角 ｄα：Ａに対する補正量 α’：補正後の観測高低角 α’ｍ：補正後の観測高低角（正反平均） i：器械高 f：目標高 S：基準面上の距離 |
①H～X列 ②ＡD～ＡT列 ③Y～ＡC列（正） ＡU～ＡY列（反） ④AZ～ＢE列 |
| 2定数項・係数 | 〃 | ・観測方程式の定数項と係数を求めています。 ・各測線毎に、定数項と係数を求めます。 ・定数項は、与点標高と近似標高と基準面上の距離等から求めた近似高低角と、正反平均の標石上面の観測高低角との差です。 ・係数Ｃ1とＣ2は、近似高低角と、基準面上の距離と標高から求めます。 |
定数項 係数Ｃ1、Ｃ2 |
①近似標高により求めた高低角 Ａ’＝tan-1（（Ｈ’2-Ｈ’1）/Ｓ・（1-（Ｈ’1+Ｈ’2）/（2Ｒ））） ②観測方程式の定数項 Ｌ＝Ａ’-α’ｍ ③観測方程式の係数 Ｃ1＝cos2α’/Ｓ・（1-Ｈ’1/Ｒ）ρ″ Ｃ2＝cos2α’/Ｓ・（1-Ｈ’2/Ｒ）ρ″ |
Ａ’：近似高低角 Ｈ’：近似標高 Ｒ：平均曲率半径6370000 Ｌ：定数項 Ｃ：係数 ρ″：206265 |
①G～Q列 ②S～X列 ③Z～AA列 |
| 3方程式 | 〃 | ・観測方程式の係数行列を求めています。 ・各測線毎に、該当する係数Ｃ1・Ｃ2を「2定数項・係数」シートから呼び込んでいます。出発点は係数に-1をかけます。行列の縦が各測線、横が新点です。与点も新点と同様に扱います。 ・係数Ｃ1、Ｃ2を呼び込むため、各測線の出発点、到着点の区別が重要になります。 |
観測方程式の係数行列 | V（α）＝-Ｃ1⊿ｈ1+Ｃ2⊿ｈ2-Ｌ 上記が観測方程式ですが、本シートでは、係数行列のみ表示しています（定数項Ｌは「2定数項・係数」シート参照） |
V（α）：高低角の観測方程式 ⊿ｈ：未知量（近似標高の補正量） |
Ｄ～Ｊ列 |
| 4行列 | 〃 | ・行列計算により最小二乗法で近似標高の補正量等を求めています。 ・観測方程式の各要素（定数項ベクトル、係数行列、重み行列）から最小二乗法による行列計算で近似標高の補正量、観測値の残差を求めます。（ベクトルは1列） ・行列計算Ａ’ＰＶが０であれば正しく計算されたことになります。（点検） |
行列計算 | Ａ’ＰＡ＝Ｎ Ａ’ＰＬ＝Ｕ -N-1・Ｕ＝W ＡＷ+L＝V |
Ａ：係数行列 Ｎ：正規行列 Ｕ：定数項ベクトル W：補正量ベクトル V：残差ベクトル Ｐ：重み対角行列 -1：逆行列 |
全体 |
| 5標高最確値・標準偏差 | 〃 | ・標高の最確値、観測値と標高の標準偏差を求めています。 ・新点標高近似値に行列計算で求めた補正量を足して標高の最確値を求めます。 ・観測値の残差、重み、方程式数、未知数から単位重みの標準偏差を求めます。 ・正規行列の逆行列Ｎ-1の対角要素と単位重みの標準偏差から、新点標高の標準偏差を求めます。（測量精度の一尺度） |
①標高の最確値 ②観測値の標準偏差 ③標高の標準偏差 |
①Ｈ＝Ｈ’+⊿ｈ ②σ0＝√（1/(ｍ-ｎ）ΣPVV） ③σ0・√ｑ |
Ｈ：標高最確値 Ｈ’：標高近似値 ⊿ｈ：近似標高の補正量 σ0：単位重みの標準偏差 Ｖ：観測値の残差 Ｐ：重み＝1 ｍ：観測方程式数 ｎ：未知数（新点数） ｑ：正規方程式の逆行列の対角要素 |
①Ｇ～Ｉ列 ②Ｂ～Ｄ列 ③Ｊ～Ｋ列 |
| 6高低角最確値・残差 | 〃 | ・高低角の最確値と、高低角の残差を求めています。 ・最確値の標高と距離から高低角の最確値を求めます。 ・最確値高低角から、観測高低角を引いて高低角の残差を求めます。（行列計算の残差ベクトルと一致します） |
①高低角の最確値 ②高低角の残差 |
①高低角の最確値＝tan-1(最確値高低差/平均標高上の最確値距離) ②高低角の残差＝高低角の最確値-観測高低角（α’ｍ） |
①Ｅ～P列 ②Q～Z列 |
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